参数方程是指，你不用去找x和y的关系了，找x、y和参数t的关系就行，那么点也不用x和y表示了，用t。

01

先复习一下参数方程的逻辑，详情见“圆的参数方程”。

对于圆，你确定了圆心、半径之后，可以写出圆的参数方程。

对于圆上的点A，只需确定θ，即可表示该点。

02直线呢？

我们用直线倾斜角确定了一排平行直线，再用直线上一点，唯一确定了这条直线。

那如何表示直线上任意一点B？

按照你以前的逻辑，根据直线斜率和已知点求出方程，

然后知x求y，或者知y求x，但前提是x和y你需要知道一个量，

要是不知道呢，我们怎么表示x和y？

回到图形本身：

我们把x和y分两部分，

在ΔABC中，

由此我们考虑，引入|AB|的长度做参数，写参数方程：

那么直线上任意点B(x, y)，即可用它到点A(2,1)的距离|AB|表示。

好，推广。

对于任意直线，已知倾斜角θ，且过定点A(x0, y0)，则直线上任意点B(x, y)的坐标可以写作：

所有满足这个方程的点，构成了直线l.

构成了直线？

看来，要表示直线，|AB|显然能力不足，我们引入一个带着方向的量t，

于是我们通过参数t，把上述①②简化为直线的参数方程

03

现在你看，参数方程在表示距离方面有天然优势~

敬请期待“参数方程中的距离公式”

长

指用参数来表示一条直线上的所有点。一般采用向量表示法，通过参数t来确定直线上的点P。参数方程一般为P=P0+vt，其中P0为直线上的一点，v为直线的方向向量，t为参数，可以取实数。当t取不同的值时，就可以得到直线上的不同的点。这种表示方法简单明了，可以方便地进行计算和分析，因此在计算机图形学、物理学等领域得到广泛应用。

是$x=x_0+at$，$y=y_0+bt$，$z=z_0+ct$，其中$(x_0,y_0,z_0)$是直线上一点的坐标，$(a,b,c)$是直线的方向向量，$t$是参数。这个方程描述的是一个点在直线上的位置，当$t$取不同的值时，点沿着直线移动。因为直线的方向向量是固定不变的，所以$t$的变化决定了点在直线上的位置变化。这个方程的应用非常广泛，可以用于计算直线上的任意一点的坐标，也可以用于计算直线上的两点之间的距离，同时还可以用于描述直线与平面的交点等等。

是指用一个或多个参数表示直线上的所有点的坐标。对于三维空间中的直线，其参数方程可以用如下形式表示：$L(t) = P_0 + t

vec{v}$，其中 $P_0$ 是直线上的一个已知点，$

vec{v}$ 是直线的方向向量，$t$ 是实数参数，表示直线上任意一点的位置。

如果知道直线上其他一点 $Q=(x,y,z)$，则可以求出该点在参数方程下对应的参数值，即 $t =

dfrac{x-x_0}{v_x} =

dfrac{y-y_0}{v_y} =

dfrac{z-z_0}{v_z}$。

为 P(t) = P0 + t * v，其中 P0 为直线上某一点的坐标，v 为这条直线的方向向量，t 是一个参数（实数），可以取任意值。是一种描述直线的方式，可以通过改变参数 t 的值来得到直线上的任意一点。和直线的一般式方程、点斜式方程等是等价的，它们可以互相转换。在使用时需要注意确定起点和方向向量，可以使用两点确定方向向量的方法或者使用向量叉乘的方法求得方向向量。

是指以参数形式表示直线上的所有点，通常表示为：$P(t)=P_0+t

vec v$其中，$P_0$是直线上的一个确定点，$

vec v$是直线的方向向量，$t$是参数，可以取任何实数值。将直线的方程表示为参数方程，可以方便地描述直线上的所有点，特别是在计算直线上的点之间距离和角度等问题时很有用。和其他形式的方程表示一样有效，在不同的情况下可能更有效或更方便。例如，在给定两个点的情况下，可以使用点斜式方程表示直线，或者如果已知直线的斜率和截距，则可以使用一般式方程。