中欧航空工程师学院研究生入学考试《数学分析与高等代数》考试大纲

一、考题类型

《数学分析与高等代数》可目试卷共设置六个题目,其中两个简答题各20分，两个基础题各25分，以及两个综合题各30分，总计150分。

二、参考数目

(1)《Mathematiques tout-en- um I annee》，Dunod

(2)《Mathematiques tout-en- m II annee》, Dunod

(3) 《中欧学院预科数学讲义》，中欧学院数学教研室

三、知识要点

第一部分: 单变量微积分

(一)数列.

1数列极限的定义及运算

2判断数列收敛方法:单调有界收敛定理、夹挤定理、收敛数列子列必收敛、柯西数列必收敛

3数列的比较，0,o与等价;常见数列的比较

4递归数列的极限

(二)极限与连续

1函数极限的定义(9种情况)，函数极限的四则运算，复合函数的极限

2函数在一点极限存在性判断:夹挤定理、单调函数极限的存在性、归结原理(函.数极限与数列极限的关系)

3函数的比较，0,o与等价;常见函数的比较

4闭区间上连续函数定理:介值定理、最值定理

(三)导数

1导数、左导数、右导数的定义，导数的四则运算，复合函数求导，反函数求导

2高阶导数，莱布尼兹公式，ck.类函数的定义及各种运算

3基本初等函数的导函数

4罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，有限增量不等式

5.极限展开式的定义，极限展开式的运算

6基本初等函数的极限展开式，极限展开式的应用:求极限、找等价

(四)积分

1闭区间上分段连续函数积分的定义

2积分的保序性，线性性，可加性，柯西~施瓦茨不等式

3连续函数的原函数

4积分的计算:分部积分与变量替换公式，有理函数的积分,无理函数的积分，含有三角函数的复合函数的积分

第二部分:高等代数

(五)自然数

1有限集基数计算公式.

2数学归纳原理

(六)向量空间

1向量空间、子空间的定义，由子集生成的子空间的定义及表示方法

2子空间的和与直和，互补子空间，向量空间的直积

3线性映射、线性型、自同态的定义;线性映射集的向量空间结构

4线性映射的复合;线性映射的核与象集;单同态、满同态、自同态、同构的定义;同构映射的逆映射

5对称和投影的定义及等价刻画

(七)有限维向量空间

1线性无关族，线性相关族，生成族及向量空间基的定义

2有限维向量空间及其维数的定义

3基的扩充定理

4子空间的和与直和的维数计算公式;补空间的存在性与构造

5秩定理

(八)多项式

1多项式的次数，多项式的加法和乘法运算

2-元多项式集合K[X]的向量空间结构和环结构

3多项式的因式和倍式, K[X]中的带余除法,辗转相除法

4多项式函数与有理函数

5多项式的导数，高阶导数，乘积多项式高阶求导的莱布尼兹公式，泰勒公式及其应用:刻画多项式根的重数

6两个多项式的公因子，互素多项式，最大公约式，欧几里得算法，最大公倍式，贝祖定理，高斯定理.

7不可约多项式，多项式的不可约分解式的存在唯一一性， 能熟练将-一个实系数多项式在实数域或复数域内进行不可约分解

(九)矩阵

1矩阵的运算:加法、乘法、数乘与转置

2线性映射在给定基下的矩阵，矩阵与线性映射之间的一---对应关系

3过渡矩阵，同- -线性映射在不同基下的矩阵之间的关系

4矩阵的初等行、列变换，初等变换求可逆矩阵的逆矩阵

5矩阵秩的定义，初等变换求矩阵的秩，矩阵秩的等价刻画

(十)行列式

1行列式的定义

2行列式的计算:矩阵相乘的行列式，转置矩阵的行列式，矩阵初等变换与行列式

3余子式，代数余子式，矩阵按行列展开

4伴随矩阵，利用伴随矩阵表示可逆矩阵的逆矩阵

5掌握行列式的计算各种常用方法

(十一)线性变换的约化

1不变子空间、诱导映射的定义，诱导映射的矩阵刻画

2线性变换在不变子空间的直和分解下的矩阵表示(准对角矩阵)

3线性变换(或方阵)特征值、特征向量、特征子空间及谱的定义

4特征多项式，特征值的重数，汉密尔顿凯莱定理

5线性变换(或方阵)可对角化的定义;线性映射(或方阵)可对角化的各种判别法

6会判断一个线性映射(或方阵)能否对角化，会将-一个(三阶)可对角化的方阵进行对角化

(十二)欧式空间

1内积的定义，柯西_施瓦茨不等式

2向量正交、正交族、单位正交族及单位正交基的定义

3会用施密特正交化将线性无关族单位正交化

4正交补，正交对称及正交投影的定义及等价刻画

5正交变换和正交矩阵的定义及等价刻画

第三部分:级数与广义积分

(十三)数项级数

1黎曼级数的敛散性，正项级数收敛判别法:比较判别法、积分比较法

2交错级数的敛散性,收敛交错级数余项的上界

3级数收敛的柯西准则，达朗贝尔判别法

4绝对收敛级数必收敛，绝对收敛级数的柯西乘积

(十四)函数列与函数项级数

1函数项级数简单收敛，一致收敛，依范数收敛定义

2熟练掌握函数列--致收敛、函数项级数一致收敛和依范数收敛各种判别法

3--致收敛函数列(函数项级数)和函数的连续性、可导性定理

4函数项级数组逐项积分定理

(十五)幂级数

1幂级数收敛半径定义

2掌握求幂级数收敛半径常用方法

3两个幂级数和函数的收敛半径，两个幂级数柯西乘积的收敛半径

4实变量幂级数和函数的性质:连续性、可导性以及和函数的积分

5实变量函数幂级数展开的定义及运算

6熟练掌握各基本初等函数的幂级数展开式

(十六)广义积分

1非负函数可积性定义及各种判别法:比较判别法、原函数判别法;积分可加性,

2复值函数可积性定义及判别准则

3控制收敛定理，逐项积分定理

4广义积分变量替换公式

5含参变量的积分:连续性定理和可导性定理

(十七)傅里叶级数

1傅里叶系数的定义、性质与计算

2均方收敛(依二范数收敛)的定义，帕塞瓦尔-贝塞尔等式

3准点收敛定理

4依范数收敛定理

第四部分:多变量微积分

(十八)多元函数的极限与连续性

1平面点集的有关概念以及平面点列的定义

2二元函数极限的定义与计算

3二元函数连续性定义

4向量空间C(A,R)、C(A,R2)

(十九)多元函数微分学

1多元函数的偏导数定义与计算

2多元函数的- -阶极限展开式、可微性与全微分定义

3复合函数计算偏导数/导数的链式法则

4方向导数的定义、梯度的定义与计算

5高阶偏导数的定义与计算，掌握Schwarz定理

6二元函数的Taylor公式、带积分型余项的Taylor公式、二阶Taylor- Young公式

7二元函 数的极值:极值的定义，C1_类函 数极值的必要条件、C2.类函数极值的充分条件

(二十)重积分

1有界闭集上连续函数二重积分的定义及其性质

2二重积分的常用计算方法:在直角坐标系下计算、利用变量替换法计算(包括利用极坐标计算)

3有界闭集上连续函数三重积分的定义及其性质

4三重积分的常用计算方法:在直角坐标系下计算(包括投影法和截面法)、利用变量替换法计算(包括利用柱坐标、球坐标计算)

第五部分:微分方程

(二十一)微分方程

1一阶线性微分方程求解，必要时考虑解的连接

2常见二阶常系数线性微分方程求解

3常系数一阶线性微分方程组求解

4求二阶齐次线性微分方程多项式解和幂级数解

5降阶法或借助朗斯基行列式的方法求解二阶线性微分方程