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不定积分
一、不定积分
1、原函数
二、换元积分法
1、第一换元法(凑微分法)
(1)直接凑
要求不定积分,首先考虑能否用公式,即能否直接用公式,基本公式中没有相同的,就找相近的公式如果有相近的,就用直接凑。
特点:能在积分基本公式中找到相近的积分公式
【注】 积分公式的特点是三个一致,即被积函数、积分变量和积分结果中都是x,是一致的,而所求积分中被积函数和积分变量往往是不一致的,所以做题时要凑成一致的。
(2)间接凑
间接凑就是不定积分本身在积分公式中找不上相同或相近的,但是通过凑微分,变形,可以凑成形式上和公式相同的,从而利用性质和公式来解决问题的方法。其本质就是先凑微分,再凑公式。
特点:被积函数中含有导数关系。
2、第二类换元法(目的是为了去掉被积函数中的根号)
(1)根式换元
特点:被积函数中含一般根式,直接换元,根号是谁就换谁
三、分部积分法
分布积分法主要用来求解函数乘积的不定积分,当被积函数是两个函数的乘积,而又没有导数关系时,考虑分部积分法。
1、分部积分法原则
【注】 (1)有时用一次分部积分不能得到最后结果,需要用多次。
(2)有时通过两次分部积分后产生循环式, 从而解出所求积分.
(3)有时被积函数只是一个函数,也可以用分部积分。
定积分
一、定积分的概念——(本质是和式的极限)
二、积分上限函数的导数
变上限积分主要考查它的求导性质,考试时遇到变上限积分的问题都要进行求导,主要的考查题型是:直接给一个变限积分,进行求导;定积分求导;含有变限积分的极限问题。
四、第一换元法(凑微分法)(积分上下限可保持不变)
定积分的第一换元法和不定积分的第一换元法没有太大的区别,只要按照步骤仔细计算即可。
(1)直接凑(能在积分基本公式中找到相近的积分公式)
(2)间接凑(先凑微分,再凑公式)(被积函数中含有导数关系)
五、第二类换元法(目的是为了去掉被积函数中的根号)(注意积分上下限的变化)
(1)根式换元
特点:被积函数中含一般根式,直接换元,根号是谁就换谁
【注】(1)由于换元中积分变量发生了变化,所以其对应的积分上下限也会发生变化,定积分的第二换元法需要注意积分上下限的变化;
(2)定积分的计算不需要回代。
六、定积分的分部积分法